Kiến thức Toán lớp 12

Chuyên đề 1

Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
§1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

A. Kiến Thức Cần Nhớ

Đinh lý 1.1. Cho hàm so y = f (x) có đạo hàm trên khoảng I.

• Nếu f'(x) > 0, Vx € I thì y = f (x) đong biến trên I.

• Nếu f '(x) < 0, Vx € I thì y = f (x) nghịch biến trên I.

• Nếu f'(x) = 0, Vx € I thì y = f (x) không đoi trên I.

Lưu ý.

• Nếu f '(x) > 0, Vx € I và f '(x) = 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = f (x) đồng biến trên I.

• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung: “Hàm số y = f (x) liên

tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
B. Kỹ Năng Cơ Bản

1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

• Tìm tập xác định. Tính y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định.

• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

2. Điều kiện đe hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.

• Tìm tập xác định Df.

• Tính y' và chỉ ra y' > 0, Vx € Df (hoặc y' < 0, Vx € Df).
C. Bài Tập
1.1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau

a) y = 2x3 — 3x2 + 1. b) y = —x3 — 3x + 2. c) y

d) y = x4 — 2x2 + 3. e) y = —x4 + 2x3 — 2x — 1. f) y =

2x + 3 x + 2

g) y = ^^7. h) y = ^-T. i) y =
x+2
3x 1
x3 + 3x2 + 3x. Vx2 — 2x — 3. x2 — 4x + 4 1x
1.2. Tìm m để hàm số y = x3 + (m — 1) x2 + (m2 — 4) x + 9 luôn đồng biến trên R.

1.3. Tìm m để hàm số y = —mx3 + (3 — m) x2 — 2x + 2 luôn nghịch biến trên R.

1.4. Tìm m để hàm số y = luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
1.5. Tìm m để hàm số y = luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

x+m—3

1.6. Tìm m để hàm số y = x + 2 + luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

x — 1

1.7. Tìm m để hàm số y = +— nghịch biến trên (—to; 1).

x+m

1.8. Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên (1; +to).

x+m—3